高専の数学解説

第1章 1.32

(1)

{f(t)=e−tcos⁡tg(t)=e−tsin⁡t\begin{cases} f_{(t)} = e^{-t}\cos t \\ g_{(t)} = e^{-t}\sin t \end{cases}

f′=−e−tcos⁡t−e−tsin⁡tg′=−e−tsin⁡t+e−tcos⁡tf' = -e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t \qquad g' = -e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t

(f′g′)=A(fg)A=(abcd)とすると\begin{pmatrix} f' \\ g' \end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix} \qquad A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \text{とすると}

(−e−tcos⁡t−e−tsin⁡t−e−tsin⁡t+e−tcos⁡t)=(abcd)(e−tcos⁡te−tsin⁡t)\begin{pmatrix} -e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t \\ -e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^{-t}\cos t \\ e^{-t}\sin t \end{pmatrix}

−e−tcos⁡t−e−tsin⁡t=ae−tcos⁡t+be−tsin⁡t-e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t = ae^{-t}\cos t + be^{-t}\sin t −e−tsin⁡t+e−tcos⁡t=ce−tcos⁡t+de−tsin⁡t-e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t = ce^{-t}\cos t + de^{-t}\sin t

これから a=−1a = -1、b=−1b = -1、c=1c = 1、d=−1d = -1

よって A=(−1−11−1)A = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

(2)

(f(4)g(4))=A4(fg)\begin{pmatrix} f^{(4)} \\ g^{(4)} \end{pmatrix} = A^4 \begin{pmatrix} f \\ g \end{pmatrix}

A4=(−400−4)なのでA^4 = \begin{pmatrix} -4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \quad \text{なので}

f(4)=−4ff^{(4)} = -4f g(4)=−4gg^{(4)} = -4g

解説: r31bn1z