第18章 18.6

$\vec{a} = (3,4,2,0)$, $\vec{b} = (-2,0,1,-4)$, $\vec{c} = (1,8,7,-4)$ とおく

これらによる１次結合として $0$ を作り出すために

$\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} = \vec{0}$

と考え、定数を整理すると

$\vec{c} = k\vec{a} + l\vec{b}$

と１次結合で表されることになる（$k = -\frac{\alpha}{\gamma}$, $l = -\frac{\beta}{\gamma}$）

$\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k \\ l \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ 7 \\ -4 \end{pmatrix}$

となる

２行目において $4k = 8$ から $k = 2$

４行目において $-4l = -4$ から $l = 1$

１行目に $k = 2$, $l = 1$ を代入すると $3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 \neq 1$

よって１次結合を成り立たせる $k$ と $l$ は存在しせず

$\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c} = \vec{0}$

を成り立たせる $\alpha, \beta, \gamma$ は $0$ のときに限る よって１次独立である