第17章 17.38

(1)

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} -13-\lambda & 12 & 6 \\ -12 & 11-\lambda & 6 \\ -6 & 6 & 2-\lambda \end{vmatrix}$

$= (-13-\lambda)(11-\lambda)(2-\lambda) - 432 - 432 + 36(11-\lambda) + 36(13+\lambda) + 144(2-\lambda)$

$= -(13+\lambda)(22-13\lambda+\lambda^2) - 864 + 1152 - 144\lambda$

$= -(286-147\lambda+\lambda^3) + 288 - 144\lambda = -\lambda^3 + 3\lambda + 2 = -(\lambda^3 - 3\lambda - 2) = -(\lambda+1)(\lambda+1)(\lambda-2) = 0$

$\lambda = 2, -1$

$\lambda = 2$のとき

$\begin{pmatrix} -15 & 12 & 6 \\ -12 & 9 & 6 \\ -6 & 6 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -5 & 4 & 2 \\ -4 & 3 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -4 & 3 & 2 \\ -5 & 4 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$p_1 = c_1 \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\lambda = -1$のとき

$\begin{pmatrix} -12 & 12 & 6 \\ -12 & 12 & 6 \\ -6 & 6 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \\ -2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$p_2 = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \to c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_3' \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

これらから $P = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

(1)

より　$p_2$は平面 $-2x + 2y + z = 0$　上にあり

この平面と固有ベクトル $p_1$ は垂直な関係にない(平面上の点との内積=0でないので)

これから $p_2$ および $p_3$ の両方を $p_1$ に直交するようにはできない

これから No である