第17章 17.30

(1)

$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \text{ とおくと } {}^tA = \begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix}$

対称行列は$S = {}^tS$ 交代行列は$T = -{}^tT$ となればよい

$A + {}^tA = \begin{pmatrix} 2a & b+d & c+g \\ b+g & 2e & f+h \\ c+g & f+h & 2i \end{pmatrix} \text{ よって対称行列}$

$A - {}^tA = \begin{pmatrix} 0 & b-d & c-g \\ d-b & 0 & f-h \\ g-c & h-f & 0 \end{pmatrix} \text{ よって交代行列}$

(2)

(1)の解より$A + {}^tA$を対称行列$S$、$A - {}^tA$を交代行列$T$として用いると

$A = \alpha C + \beta D \text{ として表現できればよい}$

(1,1)成分から $a = \alpha \cdot 2a + \beta \cdot 0$ $\alpha = \frac{1}{2}$

(1,2)成分から $\alpha(b+d) + \beta(b-d) = b$ $(\alpha+\beta)b + (\alpha-\beta)d = b$ $\beta = \frac{1}{2}$

よって$A = \frac{1}{2}S + \frac{1}{2}T$

（教科書では$S$と$T$のなかに$\frac{1}{2}$を含めている）