第17章 17.28

(1)

$A^2 = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 2a \\ 0 & a^2 \end{pmatrix}$

$A^3 = \begin{pmatrix} a^2 & 2a \\ 0 & a^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^3 & 3a^2 \\ 0 & a^3 \end{pmatrix}$

(1)

からA^n = $\begin{pmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix}$が成り立つと考えて

両辺にAを右から掛けると

$A^n A = \begin{pmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^{n+1} & (n+1)a^n \\ 0 & a^{n+1} \end{pmatrix} = A^{n+1}$

A^{n+1}でも成り立つことが証明された

よってA^n = $\begin{pmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix}$が成り立つ

(3)

$\exp A = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}A^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \begin{pmatrix} a^n & na^{n-1} \\ 0 & a^n \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 1 + a^1 + \frac{1}{2}a^2 + \cdots + \frac{1}{n!}a^n + \cdots & 0 + 1 + a^1 + \frac{1}{2}a^2 + \cdots + \frac{1}{n!}a^n + \cdots \\ 0 & 1 + a^1 + \frac{1}{2}a^2 + \cdots + \frac{1}{n!}a^n + \cdots \end{pmatrix}$

e^aのマクローリン展開は

$e^a = 1 + a^1 + \frac{1}{2}a^2 + \cdots + \frac{1}{n!}a^n + \cdots$

から

$\exp A = \begin{pmatrix} e^a & e^a \\ 0 & e^a \end{pmatrix}$