第17章 17.27

(1)

$|A| = \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & c & b \end{vmatrix} = ab^2 - ac^2 = a(b^2 - c^2)$

逆行列の(2,3)成分は元の行列の(3,2)成分の余因子から求めるので

$|A_{3,2}| = \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & c \end{vmatrix} = ac$

これから

$A_{2,3}^{-1} = (-1)^{2+3} \frac{ac}{a(b^2 - c^2)} = -\frac{c}{b^2 - c^2}$

(2)

$|A - \lambda E| = \begin{vmatrix} a - \lambda & 0 & 0 \\ 0 & b - \lambda & c \\ 0 & c & b - \lambda \end{vmatrix} = (a - \lambda)(b - \lambda)^2 - c^2(a - \lambda) = (a - \lambda)\{(b - \lambda)^2 - c^2\}$

$= (a - \lambda)(b^2 - 2b\lambda + \lambda^2 - c^2) = (a - \lambda)(\lambda^2 - 2b\lambda + b^2 - c^2)$

$\lambda^2 - 2b\lambda + b^2 - c^2 = 0 \quad \lambda = b \pm \sqrt{b^2 - b^2 + c^2} = b \pm c \quad \therefore \lambda = a, b \pm c$

(3)

$A^2 = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & c & b \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & c \\ 0 & c & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 & 0 & 0 \\ 0 & b^2 + c^2 & 2bc \\ 0 & 2bc & b^2 + c^2 \end{pmatrix}$

これから

$a^2 = 4 \quad a = \pm 2$

$b^2 + c^2 = 0 \quad b^2 = -c^2 \quad \circled{1}$

$2bc = 2i \quad bc = i \quad \circled{2}$

①、②から $b = \pm 1, c = \pm i$ 又は $b = \pm i, c = \pm 1$ となる

(4)

問題集 p.179 ヒントから $A = \begin{pmatrix} a & b^0 \\ 0 & B \end{pmatrix}$ と考えると $A^n = \begin{pmatrix} a^n & b^0 \\ 0 & B^n \end{pmatrix}$ となる

ここで $B = \begin{pmatrix} b & c \\ c & b \end{pmatrix}$ であり、17.25 の行列A と同じ型であることがわかる