第16章 16.23 | 高専の数学解説

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問題集p.94の余因子の項には $A_{i,j}$ の中に $(-1)^{i+j}$ が含まれているが、

この問題の解答においては $(-1)^{i+j}$ を外に出したものを $A_{i,j}$ としている

A_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}

第n列についての余因子展開は

$D_n = \det A_n = (-1)^{(n+n)} \cdot a_{n,n} \cdot A_{n,n} + (-1)^{(n-1+n)} \cdot a_{n-1,n} \cdot A_{n-1,n} = \det A_{n-1} - A_{n-1,n}$

ここで $A_{n-1,n}$ について考える

A_{n-1,n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-1)^{(n-1+n-1)} \cdot a_{n-1,n-1} \cdot A_{n-1,n-1} + (-1)^{(n-2+n-1)} \cdot a_{n-2,n-1} \cdot A_{n-2,n-1}

$= \det A_{n-2} + 0 = D_{n-2}$

よって $D_n = D_{n-1} + D_{n-2}$

$D_5 = D_4 + D_3 = (D_3 + D_2) + (D_2 + D_1) = D_3 + 2D_2 + D_1 = (D_2 + D_1) + 2D_2 + D_1$

$= 3D_2 + 2D_1 = 3\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \cdot 1 = 3 \cdot 2 + 2 = 8$