第15章 15.9

$f = \begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

これより

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

(1)

点$(0,1),(-1,0)$を通るので

$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

変換後の直線の方程式を$y = ax+b$とすると

$\begin{cases} \dfrac{\sqrt{3}}{2} = -\dfrac{1}{2}a+b \\ -\dfrac{1}{2} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}a+b \end{cases}$

これより $a = \dfrac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$ $b = \dfrac{2}{\sqrt{3}-1}$ よって $(1+\sqrt{3})x-(\sqrt{3}-1)y+2=0$

(2)

点$(0,-1),(1,1)$を通るので

$\begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{2} \\ -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2} & -\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2} \\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

変換後の直線の方程式を$y = ax+b$とすると

$\begin{cases} -\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{1}{2}a+b \\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}\right)a+b \end{cases}$

これより $a = \dfrac{1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}$ $b = \dfrac{-2}{\sqrt{3}-2}$

よって $(1+2\sqrt{3})x+(2-\sqrt{3})y-2=0$