第14章 14.10

(1)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \qquad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

$Ax = \begin{pmatrix} x_1+4x_2 \\ 2x_1+3x_2 \end{pmatrix} = kx = \begin{pmatrix} kx_1 \\ kx_2 \end{pmatrix}$

$\begin{cases} (1-k)x_1+4x_2=0 & ① \\ 2x_1+(3-k)x_2=0 & ② \end{cases}$

①×2－②×$(1-k)$から

$\{8-(3-k)(1-k)\}x_2=0$

$8-(3-k)(1-k)=5+4k-k^2=-(k+1)(k-5) \qquad \therefore k=-1,5$

$k=-1$のとき①、②式とも

$2x_1+4x_2=0$

となるので $(x_1,x_2)=C_1(2,-1)$ （$C_1$は任意定数）

$k=5$のとき①、②式とも

$x_1-x_2=0$

となるので $(x_1,x_2)=C_2(1,1)$ （$C_2$は任意定数）

(2)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} \qquad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

(1)

と同様に考えて

$\begin{cases} (1-k)x_1+2x_2=0 & ① \\ 2x_1+(-2-k)x_2=0 & ② \end{cases}$

①×2－②×$(1-k)$から

$\{4+(2+k)(1-k)\}x_2=0$

$4+(2+k)(1-k)=6-k-k^2=-(k-2)(k+3) \qquad \therefore k=2,-3$

$k=2$のとき①、②式ともに

$x_1-2x_2=0$

となるので $(x_1,x_2)=C_1(2,1)$ （$C_1$は任意定数）

$k=-3$のとき①、②式とも

$2x_1+x_2=0$

となるので $(x_1,x_2)=C_2(-1,2)$ （$C_2$は任意定数）

(3)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

(1)

と同様に考えて

$\begin{cases} (2-k)x_1 + 4x_2 = 0 & ① \\ x_1 + (2-k)x_2 = 0 & ② \end{cases}$

①-②×$(2-k)$から

$\{4-(2-k)(2-k)\}x_2 = 0$

$4-(2-k)(2-k) = 4k-k^2 = -k(k-4) \quad \therefore k=0,4$

$k=0$ のとき①、②式ともに

$x_1+2x_2=0$ となるので $(x_1,x_2)=C_1(-2,1)$ （$C_1$は任意定数）

$k=4$ のとき①、②式とも

$-x_1+2x_2=0$ となるので $(x_1,x_2)=C_2(2,1)$ （$C_2$は任意定数）

(4)

$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \quad x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$

(1)

と同様に考えて

$\begin{cases} (1-k)x_1 - 3x_2 = 0 & ① \\ -3x_1 + (1-k)x_2 = 0 & ② \end{cases}$

①×$(-3)$-②×$(1-k)$から

$\{9-(1-k)(1-k)\}x_2 = 0$

$9-(1-k)(1-k) = 8+2k-k^2 = -(k+2)(k-4) \quad \therefore k=-2,4$

$k=4$ のとき①、②式ともに

$x_1+x_2=0$ となるので $(x_1,x_2)=C_1(1,-1)$ （$C_1$は任意定数）

$k=-2$ のとき①、②式とも

$x_1-x_2=0$ となるので $(x_1,x_2)=C_2(1,1)$ （$C_2$は任意定数）