第14章 14.8

(1)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \qquad \text{とおくと}$

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} a+2c & b+2d \\ 3a+4c & 3b+4d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+3b & 2a+4b \\ c+3d & 2c+4d \end{pmatrix} \qquad \text{これより}$

$a+2c=a+3b \quad ① \qquad b+2d=2a+4b \quad ② \qquad 3a+4c=c+3d \quad ③ \qquad 3b+4d=2c+4d \quad ④$

これら４つの式を行列に書き直して

$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$\text{これより} \quad \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \alpha \begin{pmatrix} -1 \\ \dfrac{2}{3} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -\alpha+\beta & \dfrac{2}{3}\alpha \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} \qquad (\alpha, \beta \text{ は任意})$

教科書とあわせるために$\beta = 2a+3b$ $\alpha = 3b$ とおくと

$\begin{pmatrix} 2a & 2b \\ 3b & 2a+3b \end{pmatrix} \qquad (a, b \text{ は任意}) \quad \text{となる}$

(2)

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \qquad \text{とおくと}$

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \qquad \begin{pmatrix} a & b \\ a+2c & b+2d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+b & 2b \\ c+d & 2d \end{pmatrix}$

$a=a+b \quad ① \qquad b=2b \quad ② \qquad a+2c=c+d \quad ③ \qquad b+2d=2d \quad ④$

これら４つの式を行列に書き直して

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow 1\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

これより $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ d \end{pmatrix} = \alpha\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} -\alpha+\beta & 0 \\ \alpha & \beta \end{pmatrix} \quad (\alpha, \beta \text{ は任意})$

教科書とあわせるために $\beta = a + b$ $\alpha = b$ とおくと

$\begin{pmatrix} a & 0 \\ b & a+b \end{pmatrix} \quad (a, b \text{ は任意}) \quad \text{となる}$