第14章 14.7

(1)

$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 4 - 6 = -2 \neq 0$ よって正則

$A^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & \dfrac{3}{2} \\ 1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}$

$|B| = \begin{vmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 10 = 2 \neq 0$ よって正則

$B^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 4 & -5 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -\dfrac{5}{2} \\ -1 & \dfrac{3}{2} \end{pmatrix}$

(2)

$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \qquad \begin{cases} x_1 + 3x_2 = 1 \\ 2x_1 + 4x_2 = -2 \end{cases}$

この連立方程式を解くと $x_1 = -5$、$x_2 = 2$

よって$\begin{pmatrix} -5 \\ 2 \end{pmatrix}$

(3)

$AX = B$ 両辺に左から$A^{-1}$をかけて $A^{-1}AX = A^{-1}B$ $X = A^{-1}B$

$X = \begin{pmatrix} -2 & \dfrac{3}{2} \\ 1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6+3 & -10+6 \\ 3-1 & 5-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$

(4)

$YA = B$ 両辺に右から$A^{-1}$をかけて $YAA^{-1} = BA^{-1}$ $Y = BA^{-1}$

$Y = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & \dfrac{3}{2} \\ 1 & -\dfrac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6+5 & \dfrac{9}{2}-\dfrac{5}{2} \\ -6+2 & 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

(5)

$BZ = A$ 両辺に左から$B^{-1}$をかけて $B^{-1}BZ = B^{-1}A$ $Z = B^{-1}A$

$Z = \begin{pmatrix} 2 & -\dfrac{5}{2} \\ -1 & \dfrac{3}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-5 & 6-10 \\ -1+3 & -3+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$