第13章 13.10

(1)

$\overrightarrow{AB} = (1,1,1) \qquad \overrightarrow{AC} = (3,-2,1)$

これから平行四辺形の面積 S は

$S^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 \cdot |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = (1^2+1^2+1^2)\cdot(3^2+(-2)^2+1^2) - (1\cdot3-1\cdot2+1\cdot1)^2$

$= 3 \cdot 14 - 4 = 38$

$S = \sqrt{38}$

(2)

$\overrightarrow{AB} = (-2,0,0) \qquad \overrightarrow{AC} = (1,-2,2)$

これから平行四辺形の面積S′は

$S'^2 = |\overrightarrow{AB}|^2 \cdot |\overrightarrow{AC}|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2 = ((-2)^2+0^2+0^2)\cdot(1^2+(-2)^2+2^2) - (-2\cdot1-0\cdot2+0\cdot2)^2$

$= 4 \cdot 9 - 4 = 32$

$S' = 4\sqrt{2}$

これから三角形の面積Sは

$S = \frac{S'}{2} = 2\sqrt{2}$