第13章 13.6

(1)

$|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9+1+4} = \sqrt{14}$

(2)

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$

(3)

$|\vec{c}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4+4} = \sqrt{9} = 3$

(4)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 6 - 1 - 2 = 3$

(5)

$\vec{b} \cdot \vec{c} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 2 = 2 - 2 - 2 = -2$

(6)

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = (5,0,1) \cdot (1,-2,2) = 5 \cdot 1 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 2 = 5 + 2 = 7$

(7)

$|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}| = |(6,-2,3)| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7$

(8)

正射影した $\vec{c}$ を $\vec{c'}$ とおくと

$\vec{c'} = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} = \frac{(1,-2,2) \cdot (2,1,-1)}{\sqrt{6}^2} \vec{b} = \frac{2-2-2}{6} \vec{b} = -\frac{1}{3} \vec{b}$

(8)

で用いた式は「高校数学教材-ikemath」さんのページ内の「正射影ベクトルの利用問題の解法」に証明等が載っておりますのでそちらも参考にしてください。

http://www.geocities.jp/ikemath/

http://www.geocities.jp/ikemath/pdf_file/ho_pdf/081hozyu.pdf