高専の数学解説

第13章 13.5

(1)

xa⃗+yb⃗+zc⃗=(3,2,3)x\vec{a} + y\vec{b} + z\vec{c} = (3,2,3)

x(13−2)+y(42−2)+z(−1−23)=(323)(14−132−2−2−23)(xyz)=(323)x\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&4&-1\\3&2&-2\\-2&-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}

(14−1332−22−2−233)→(14−130−101−70619)→(1100120−160−160619)→(11001201010619)\left(\begin{array}{ccc|c}1&4&-1&3\\3&2&-2&2\\-2&-2&3&3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&4&-1&3\\0&-10&1&-7\\0&6&1&9\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&10&0&12\\0&-16&0&-16\\0&6&1&9\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&10&0&12\\0&1&0&1\\0&6&1&9\end{array}\right)

→(100201010013)これより2a⃗+b⃗+3c⃗\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}\right)\qquad\text{これより}\quad 2\vec{a}+\vec{b}+3\vec{c}

(2)

x(13−2)+y(42−2)+z(−1−23)=(−4−13)(14−132−2−2−23)(xyz)=(−4−13)x\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\3\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&4&-1\\3&2&-2\\-2&-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\-1\\3\end{pmatrix}

(14−1−432−2−1−2−233)→(14−1−40−10111061−5)→(1100−90−16016061−5)→(1100−9010−1061−5)→(1001010−10011)\left(\begin{array}{ccc|c}1&4&-1&-4\\3&2&-2&-1\\-2&-2&3&3\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&4&-1&-4\\0&-10&1&11\\0&6&1&-5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&10&0&-9\\0&-16&0&16\\0&6&1&-5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&10&0&-9\\0&1&0&-1\\0&6&1&-5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&-1\\0&0&1&1\end{array}\right)

これより a⃗−b⃗+c⃗\vec{a}-\vec{b}+\vec{c}

(3)

x(13−2)+y(42−2)+z(−1−23)=(14−6)(14−132−2−2−23)(xyz)=(14−6)x\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-6\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&4&-1\\3&2&-2\\-2&-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\-6\end{pmatrix}

(14−1132−24−2−23−6)→(14−110−1011061−4)→(1100−30−1605061−4)→(1100−3010−516061−4)\left(\begin{array}{ccc|c}1&4&-1&1\\3&2&-2&4\\-2&-2&3&-6\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&4&-1&1\\0&-10&1&1\\0&6&1&-4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&10&0&-3\\0&-16&0&5\\0&6&1&-4\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&10&0&-3\\0&1&0&-\dfrac{5}{16}\\0&6&1&-4\end{array}\right)

→(10018010−516001−178)これより18a⃗−516b⃗−178c⃗\to\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&\dfrac{1}{8}\\0&1&0&-\dfrac{5}{16}\\0&0&1&-\dfrac{17}{8}\end{array}\right)\qquad\text{これより}\quad \frac{1}{8}\vec{a}-\frac{5}{16}\vec{b}-\frac{17}{8}\vec{c}

(4)

x(13−2)+y(42−2)+z(−1−23)=(123)(14−132−2−2−23)(xyz)=(123)x\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}4\\2\\-2\end{pmatrix}+z\begin{pmatrix}-1\\-2\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&4&-1\\3&2&-2\\-2&-2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}

(14−132−2−2−23)123)→(14−10−101061)1−15)→(11000−160061)6−65)→(1100010061)6385)\begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \\ -2 & -2 & 3 \end{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}\right) \to \begin{pmatrix} 1 & 4 & -1 \\ 0 & -10 & 1 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} \left.\begin{matrix} 1 \\ -1 \\ 5 \end{matrix}\right) \to \begin{pmatrix} 1 & 10 & 0 \\ 0 & -16 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} \left.\begin{matrix} 6 \\ -6 \\ 5 \end{matrix}\right) \to \begin{pmatrix} 1 & 10 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix} \left.\begin{matrix} 6 \\ \dfrac{3}{8} \\ 5 \end{matrix}\right) →(100010001)9438114)これより94a⃗+38b⃗+114c⃗\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \left.\begin{matrix} \dfrac{9}{4} \\ \dfrac{3}{8} \\ \dfrac{11}{4} \end{matrix}\right) \qquad \text{これより}\quad \dfrac{9}{4}\vec{a} + \dfrac{3}{8}\vec{b} + \dfrac{11}{4}\vec{c}

解説: r31bn1z