第12章 12.20

(1)

$\vec{a} = \left(a, \frac{1}{\sqrt{2a+1}}\right) \quad \vec{b} = \left(2a, \frac{1}{\sqrt{4a+1}}\right)$

これから

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \left(a, \frac{1}{\sqrt{2a+1}}\right) \cdot \left(2a, \frac{1}{\sqrt{4a+1}}\right) = 2a^2 + \frac{1}{\sqrt{2a+1}\sqrt{4a+1}}$

(2)

$y' = -\frac{1}{2}(2x+1)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 = -(2x+1)^{-\frac{3}{2}}$

点Aにおける接線の方程式の傾きは $y_a' = -(2a+1)^{-\frac{3}{2}}$

点Aの座標は $\left(a, \dfrac{1}{\sqrt{2a+1}}\right)$ なので接線の方程式は

$y - \frac{1}{\sqrt{2a+1}} = -(2x+1)^{-\frac{3}{2}}(x-a) \qquad (2x+1)^{\frac{3}{2}}y - (2a+1) = -(x-a)$

$x + (2x+1)^{-\frac{3}{2}}y - 3a - 1 = 0$

(3)

(△OAA’の部分)+(x=a〜2a の範囲)－(△OBB’の部分)

$= \pi\int_0^a \left(\frac{1}{a\sqrt{2a+1}}x\right)^2 dx + \pi\int_a^{2a} \left(\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right)^2 dx - \pi\int_0^{2a} \left(\frac{1}{2a\sqrt{4a+1}}x\right)^2 dx$

$= \frac{\pi}{a^2(2a+1)} \cdot \frac{1}{3}[x^3]_0^a + \frac{\pi}{2}[\log(2x+1)]_a^{2a} - \frac{\pi}{4a^2(4a+1)} \cdot \frac{1}{3}[x^3]_0^{2a}$

$= \frac{\pi a^3}{3a^2(2a+1)} + \frac{\pi}{2}\log\frac{4a+1}{2a+1} - \frac{8\pi a^3}{12a^2(4a+1)} = \frac{\pi}{2}\log\frac{4a+1}{2a+1} - \frac{\pi a}{3(2a+1)(4a+1)}$