第12章 12.19

(1)

$\overrightarrow{OA}$が x 軸となす角を α とすると

$\cos\alpha = \frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} \qquad \sin\alpha = \frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$

$\cos(\alpha+\theta) = \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}} \qquad \sin(\alpha+\theta) = \frac{y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

$\cos\theta = \cos\{(\alpha+\theta-\alpha)\}$

$= \cos(\alpha+\theta)\cdot\cos\alpha + \sin(\alpha+\theta)\cdot\sin\alpha$

$= \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\cdot\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} + \frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\cdot\frac{y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

$= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

(2)

$\sin\theta = \sin\{(\alpha+\theta)-\alpha\} = \sin(\alpha+\theta)\cdot\cos\alpha - \cos(\alpha+\theta)\cdot\sin\alpha$

$= \frac{y_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\cdot\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} - \frac{x_2}{\sqrt{x_2^2+y_2^2}}\cdot\frac{y_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = \frac{x_1y_2 - y_1x_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}}$

三角形の面積の公式より

$\triangle OAB = \frac{1}{2}OA\cdot OB\cdot\sin\theta \qquad (\sin\theta \geq 0)$

$= \frac{1}{2}\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot\sqrt{x_2^2+y_2^2}\cdot\frac{|x_1y_2-y_1x_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}} = \frac{1}{2}|x_1y_2-y_1x_2|$

(3)

右図のようにベクトル$\vec{a}$と$\vec{b}$が作る平行四辺形は$\vec{a}\times\vec{b}$で表され、

三角形は$\frac{1}{2}\vec{a}\times\vec{b}$で表させる

これを用いると△ABC はベクトル$\overrightarrow{CA}$と$\overrightarrow{CB}$とによる三角形なので

$\triangle ABC = \frac{1}{2}\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB} = \frac{1}{2}\begin{vmatrix}x_1-x_3 & x_2-x_3\\ y_1-y_3 & y_2-y_3\end{vmatrix}$

$= \frac{1}{2}\{(x_1-x_3)(y_2-y_3)-(x_2-x_3)(y_1-y_3)\} = \frac{1}{2}|x_1y_2-x_1y_3-x_3y_2+x_3y_3-x_2y_1+x_2y_3+x_3y_1-x_3y_3|$

$= \frac{1}{2}|x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1-x_1y_3-x_2y_1-x_3y_2|$