第11章 11.14

点 P が線分 AB を m:n に内分する点であるとすると

$\vec{p} = \frac{m\vec{b} + n\vec{a}}{m+n} = \frac{n}{m+n}\vec{a} + \frac{m}{m+n}\vec{b} = \left(1 - \frac{m}{m+n}\right)\vec{a} + \frac{m}{m+n}\vec{b}$

$\dfrac{m}{m+n} = t$ とおくと $\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

(1)

$\vec{p} = (1-0)\vec{a} + 0 = \vec{a} \qquad \therefore \text{点 A}$

(2)

$\vec{p} = \left(1 - \frac{1}{2}\right)\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} \qquad \therefore \text{AB \text{の中点}}$

(3)

$\vec{p} = \left(1 - \frac{2}{3}\right)\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{2}{3}\vec{b} \qquad \therefore \text{AB \text{を} 2:1 \text{に内分する点}}$

(4)

$\vec{p} = (1-2)\vec{a} + 2\vec{b} = -\vec{a} + 2\vec{b} \qquad \therefore \text{AB \text{を} 2:1 \text{に外分する点}}$

(5)

$\vec{p} = (1+2)\vec{a} - 2\vec{b} = 3\vec{a} - 2\vec{b} \qquad \therefore \text{AB \text{を} 2:3 \text{に外分する点}}$

より明らかである

(2)

(1)より

$\vec{p} = s\vec{a} + t\vec{b} \qquad s\vec{a} + t\vec{b} - \vec{p} = \vec{0}$

$s = k$ 、 $t = l$ 、 $-1 = m \ (m \neq 0)$ とすれば

$k\vec{a} + l\vec{b} + m\vec{p} = 0$

また $s + t = 1$ より $k + l = -m$ $k + l + m = 0$