問題集 p.54 内積より a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cosθ=1⋅1⋅12=12\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| \cos\theta = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}a⋅b=∣a∣∣b∣cosθ=1⋅1⋅21=21 ∣a⃗+b⃗∣2=∣a⃗∣2+2a⃗⋅b⃗+∣b⃗∣2=1+2⋅12+1=3∣a⃗+b⃗∣=3|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} + 1 = 3 \qquad |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}∣a+b∣2=∣a∣2+2a⋅b+∣b∣2=1+2⋅21+1=3∣a+b∣=3 ∣a⃗−2b⃗∣2=∣a⃗∣2−4a⃗⋅b⃗+4∣b⃗∣2=1−4⋅12+4=3∣a⃗−2b⃗∣=3|\vec{a} - 2\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2 = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 = 3 \qquad |\vec{a} - 2\vec{b}| = \sqrt{3}∣a−2b∣2=∣a∣2−4a⋅b+4∣b∣2=1−4⋅21+4=3∣a−2b∣=3 (a⃗+b⃗)⋅(a⃗−2b⃗)=∣a⃗∣2−a⃗⋅b⃗−2∣b⃗∣2=1−12−2=−32(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} - 2|\vec{b}|^2 = 1 - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}(a+b)⋅(a−2b)=∣a∣2−a⋅b−2∣b∣2=1−21−2=−23 これから cosθ=(a⃗+b⃗)⋅(a⃗−2b⃗)∣a⃗+b⃗∣∣a⃗−2b⃗∣=−3233=−12θ=120°\cos\theta = \frac{(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b})}{|\vec{a} + \vec{b}||\vec{a} - 2\vec{b}|} = \frac{-\frac{3}{2}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = -\frac{1}{2} \qquad \theta = 120°cosθ=∣a+b∣∣a−2b∣(a+b)⋅(a−2b)=33−23=−21θ=120°