第7章 7.22

$y = \dfrac{1}{x^2}$

$P(a, \dfrac{1}{a^2})$ とすると

$y' = \dfrac{-2}{x^3} \qquad x = a \text{ のとき} \qquad y' = -\dfrac{2}{a^3}$

接線：$y - \dfrac{1}{a^2} = -\dfrac{2}{a^3}(x - a)$ $\qquad y = -\dfrac{2}{a^3}x + \dfrac{3}{a^2}$

x 軸との交点 $A\left(\dfrac{3}{2}a, 0\right)$ $\qquad$ y 軸との交点 $B\left(0, \dfrac{3}{a^2}\right)$

線分 $AB^2 = \dfrac{9}{4}a^2 + \dfrac{9}{a^4} = \dfrac{9a^6+36}{4a^4}$

$(AB^2)' = \dfrac{9}{2}a - \dfrac{36}{a^5}$

$(AB^2)' = 0$ のとき $\qquad \dfrac{9}{2}a = \dfrac{36}{a^5} \qquad a^6 = 8 \qquad a = \sqrt{2}$

これから

$AB^2 = \dfrac{9\cdot 8+36}{4\cdot 4} = \dfrac{108}{16} \qquad AB = \dfrac{6\sqrt{3}}{4}$