第7章 7.12

(1)

$f_{(x)} = x^3$ として $x = 1$ の近くで考える

$f_{(1)} = 1 \qquad f' = 3x^2 \qquad f'_{(1)} = 3$ であるから

$(1 + \Delta x)^3 \cong 1 + 3\Delta x$

$\Delta x = 0.01$ として

$(1 + \Delta x)^3 \cong 1.03$

(2)

$f_{(x)} = \sqrt{x}$ として $x = 4$ の近くで考える

$f_{(4)} = 2 \qquad f' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \qquad f'_{(4)} = \dfrac{1}{4}$ であるから

$\sqrt{4 + \Delta x} \cong 2 + \frac{1}{4}\Delta x$

$\Delta x = 0.02$ として

$\sqrt{4 + \Delta x} \cong 2 + \frac{1}{4} \cdot 0.02 = 2.005$

(3)

$f_{(x)} = \sqrt[3]{x}$ として $x = 1$ の近くで考える

$f_{(1)} = 1 \qquad f' = \dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \qquad f'_{(1)} = \dfrac{1}{3}$ であるから

$\sqrt[3]{1 + \Delta x} \cong 1 + \frac{1}{3}\Delta x$

$\Delta x = -0.02$ として

$\sqrt[3]{1 + \Delta x} \cong 1 + \frac{1}{3} \cdot (-0.02) = 0.9933$

(4)

$f_{(x)} = \cos x$ として $x = 30$ の近くで考える

$f_{(30)} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \qquad f' = -\sin x \qquad f'_{(30)} = -\dfrac{1}{2}$ であるから

$\cos(x + \Delta x) \cong \cos 30 + \left(-\frac{1}{2}\right)\Delta x$

$\Delta x = 2\pi \cdot \frac{2}{360} = \frac{\pi}{90} \text{ として}$

$\cos(x + \Delta x) \cong \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{\pi}{90} = 0.8486$

(5)

$f_x = \sqrt{x}$とし、$x = 25$ の近くで考える

$f_{(25)} = 5 \qquad f'_x = \frac{1}{2\sqrt{x}} \qquad f'_{(25)} = \frac{1}{10} \qquad \text{であるから}$

$\sqrt{25 + \Delta x} \cong 5 + \frac{\Delta x}{10} = 5.1$

$\Delta x = 1$として

$\frac{1}{\sqrt{25 + \Delta x}} \cong \frac{1}{5.1} \cong 0.1961$