第6章 6.8

(1)

$\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 - \frac{1}{x}\right)^x$

$x = -t$ とすると $x \to \pm\infty$ $t \to \mp\infty$ これから

$\lim_{t \to \mp\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-t} = \left\{ \lim_{t \to \mp\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} \right\}^{-1} = e^{-1}$

(2)

$\lim_{t \to \pm\infty} \left(1 + \frac{2}{t}\right)^{t}$

$t = 2x$ とすると $t \to \pm\infty$ $x \to \pm\infty$ これから

$\lim_{x \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2x} = \left\{ \lim_{x \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} \right\}^{2} = e^2$

(3)

$\lim_{x \to 0} (1 + ax)^{\frac{1}{x}}$

$x = \dfrac{1}{at}$ とすると $x \to 0$ $t \to \pm\infty$ これから

$\lim_{t \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{at} = \left\{ \lim_{t \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} \right\}^{a} = e^a$

(4)

$\lim_{x \to 0} (1 - x^2)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} (1-x)^{\frac{1}{x}} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

第１項は $x = -\dfrac{1}{t}$ 第２項は $x = \dfrac{1}{t}$ とすると

$\lim_{t \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{-t} \cdot \lim_{t \to \pm\infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t} = e^{-1} \cdot e = 1$