第6章 6.7

(1)

$\lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}}$

$h = \dfrac{1}{t}$ とおくと $h \to 0$ $t \to \infty$ これから

$\lim_{t \to \infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t} = e$

となる よって $\displaystyle\lim_{h \to 0}(1+h)^{\frac{1}{h}} = e$

(2)

$\lim_{h \to 0}\frac{\log(1+h)}{h}$

ロピタルの定理より

$\lim_{h \to 0}\frac{\dfrac{1}{1+h}}{1} = \lim_{h \to 0}\frac{1}{1+h} = 1$

(3)

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}-1}{x}$

$e^{x}-1 = h$ とすると $e^{x} = h+1$ $\log e^{x} = \log(h+1)$ $x = \log(h+1)$

$x \to 0$ $h \to 0$ これから

$\lim_{h \to 0}\frac{h}{\log(h+1)}$

ロピタルの定理より

$\lim_{h \to 0}\frac{1}{\dfrac{1}{h+1}} = \lim_{h \to 0}(h+1) = 1$