第4章 4.1

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(1)

$y = x^3 - 6x^2 + 9x$ $y' = 3x^2 - 12x + 9$

$y'=0$のとき $3x^2-12x+9=3(x-3)(x-1)=0$ $x=1,3$

$x$軸との交点は $x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2=0$ よって$x=0,3$

(2)

$y=-x^3+3x$ $y'=-3x^2+3$ $y'=0$のとき $-3x^2+3=0$ $x=\pm1$

$x$軸との交点は $-x^3+3x=-x(x^2-3)=0$ よって$x=0,\pm\sqrt{3}$

(3)

$y=x^3-3x^2-9x+11$ $y'=3x^2-6x-9$

$y'=0$のとき $3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)=0$ $x=-1,3$

$x$軸との交点は $x^3-3x^2-9x+11=(x-1)(x^2-2x-11)=0$ よって$x=1,1\pm2\sqrt{3}$

(4)

$y=x^4-2x^3+1$ $y'=4x^3-6x^2$ $y'=0$のとき $4x^3-6x^2=2x^2(2x-3)=0$ $x=0,\dfrac{3}{2}$

$x$軸との交点は $x^4-2x^3+1=(x-1)(x^3-x^2-x-1)=0$ よって$x=1,(x^3-x^2-x-1)=0$

(5)

$y = -x^4+x^2 \qquad y' = -4x^3+2x \qquad y'=0 \text{ のとき } \quad -4x^3+2x=2x(1-2x^2)=0 \qquad x=0,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

x 軸との交点は $-x^4+x^2=-x^2(x^2-1)=0$ よって $x=0,\pm1$

(6)

$y = x^4-10x^2+9 \qquad y' = 4x^3-20x \qquad y'=0 \text{のとき} \quad 4x^3-20x=4x(x^2-5)=0 \qquad x=0,\pm\sqrt{5}$

x 軸との交点は $x^4-10x^2+9=(x^2-9)(x^2-1)=0$ よって $x=\pm1,\pm3$