第3章 3.18

$y = x^2 + a$

$y' = 2x$

任意の点Pを$(m, m^2+a)$とすると$x=m$のとき$y'=2m$

これから点Pでの接線は

$y = 2mx + (a - m^2) \qquad ①$

この式と$y=x^2$ ② の交点は②を①に代入して

$x^2 = 2mx + (a-m^2) \qquad x^2 - 2mx + m^2 - a = 0$

$x = m \pm \sqrt{m^2 - m^2 + a} = m \pm \sqrt{a}$

この時のyの値は②に代入して

$y = m^2 \pm 2m\sqrt{a} + a = m^2 + a \pm 2m\sqrt{a}$

これから

点$Q(m-\sqrt{a}, m^2+a-2m\sqrt{a})$ 点$P(m,m^2+a)$ 点$R(m+\sqrt{a}, m^2+a+2m\sqrt{a})$

点Qと点Rの中点は

$\left(\frac{(m-\sqrt{a})+(m+\sqrt{a})}{2}, \frac{(m^2+a-\sqrt{a})+(m^2+a+\sqrt{a})}{2}\right) = (m, m^2+a)$

よって点Pは線分QRの中点である