第3章 3.17

右図のように線分 OP を二等分する点を R とおく

$P = (a, a^3)$ なので $R = (\dfrac{a}{2}, \dfrac{a^3}{2})$ となる

また、線分 OP の傾きは $\dfrac{a^3}{a} = a^2$ なので

その垂線の傾きは $-\dfrac{1}{a^2}$ となる

傾き $-\dfrac{1}{a^2}$ で点 $(\dfrac{a}{2}, \dfrac{a^3}{2})$ を通る直線の方程式は

$y = -\frac{1}{a^2}x + b \qquad \frac{a^3}{2} = -\frac{1}{a^2}\cdot\frac{a}{2} + b \qquad b = \frac{a^4+1}{2a} \qquad \therefore y = -\frac{1}{a^2}x + \frac{a^4+1}{2a}$

これから $Q = \dfrac{a^4+1}{2a}$ となる

これから三角形 OPQ の面積は $S = \dfrac{a^4+1}{2a}\times a\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{a^4+1}{4}$

P が限りなく原点に近づくと $a \to 0$ なので

$\lim_{a\to 0}\frac{a^4+1}{4} = \frac{1}{4}$