高専の数学解説

第1章 1.32

(1)

∑n=110f(n)=∑n=19n+f(10)=9(9+1)2+(1+0)=9⋅102+1=46\sum_{n=1}^{10} f_{(n)} = \sum_{n=1}^{9} n + f_{(10)} = \frac{9(9+1)}{2} + (1+0) = \frac{9\cdot 10}{2} + 1 = 46

(2)

∑n=1100f(n)=∑n=19n+∑n=1099f(n)+f(100)\sum_{n=1}^{100} f_{(n)} = \sum_{n=1}^{9} n + \sum_{n=10}^{99} f_{(n)} + f_{(100)}

ここで ∑n=1099f(n)=f(10)+f(11)+f(12)+⋯+f(98)+f(99)=(1+0)+(1+1)+(1+2)+⋯+(9+8)+(9+9)\displaystyle\sum_{n=10}^{99} f_{(n)} = f_{(10)} + f_{(11)} + f_{(12)} + \cdots + f_{(98)} + f_{(99)} = (1+0) + (1+1) + (1+2) + \cdots + (9+8) + (9+9)

=∑n=19n×(10+9)から= \sum_{n=1}^{9} n \times (10+9) \quad \text{から}

∑n=1100f(n)=∑n=19n+19∑n=19n+(1+0+0)=20∑n=19n+1=20×9(9+1)2+1=901\sum_{n=1}^{100} f_{(n)} = \sum_{n=1}^{9} n + 19\sum_{n=1}^{9} n + (1+0+0) = 20\sum_{n=1}^{9} n + 1 = 20 \times \frac{9(9+1)}{2} + 1 = 901

(3)

∑n=110kf(n)=∑n=19f(n)+∑n=1099f(n)+∑n=100999f(n)+⋯+∑n=10k−110kf(n)\sum_{n=1}^{10^k} f_{(n)} = \sum_{n=1}^{9} f_{(n)} + \sum_{n=10}^{99} f_{(n)} + \sum_{n=100}^{999} f_{(n)} + \cdots + \sum_{n=10^{k-1}}^{10^{k}} f_{(n)}

=∑n=19n+19∑n=19n+(1+0+0)+(1+0+1)+⋯+(9+9+8)+(9+9+9)+⋯+∑n=10k−110kf(n)= \sum_{n=1}^{9} n + 19\sum_{n=1}^{9} n + (1+0+0)+(1+0+1)+\cdots+(9+9+8)+(9+9+9)+\cdots+\sum_{n=10^{k-1}}^{10^{k}} f_{(n)}

=∑n=19n+19∑n=19n+(100+9×20)∑n=19n+⋯+(1+0+0+⋯+0)= \sum_{n=1}^{9} n + 19\sum_{n=1}^{9} n + (100+9\times 20)\sum_{n=1}^{9} n + \cdots + (1+0+0+\cdots+0)

=300∑n=19n+⋯+1=k×10k−1×∑n=19n+1=k⋅10k−1⋅9(9+1)2+1=45k⋅10k−1+1= 300\sum_{n=1}^{9} n + \cdots + 1 = k \times 10^{k-1} \times \sum_{n=1}^{9} n + 1 = k \cdot 10^{k-1} \cdot \frac{9(9+1)}{2} + 1 = 45k \cdot 10^{k-1} + 1

解説: r31bn1z