高専の数学解説

第1章 1.28

(1)

n番目の最初の数はn-1までの2n−12^{n-1}の総和×2+1で

n番目の最後の数はnまでの2n−12^{n-1}の総和×2-1で表せるので

最初の数 2×∑k=1n−12k−1+1=2{2n−12−1−2n−1}+1=2(2n−1)−2n+1=2n−12\times\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}+1=2\left\{\frac{2^n-1}{2-1}-2^{n-1}\right\}+1=2(2^n-1)-2^n+1=2^n-1

最後の数 2×∑k=1n2k−1−1=2⋅2n−12−1−1=2(2n−1)−1=2n+1−32\times\sum_{k=1}^{n}2^{k-1}-1=2\cdot\frac{2^n-1}{2-1}-1=2(2^n-1)-1=2^{n+1}-3

(2)

最初の項がa1=2n−1a_1=2^n-1で、最後の項がl=2n+1−3l=2^{n+1}-3で、項数は2n−12^{n-1}なので

S=n(a+l)2=2n−1(2n−1+2n+1+3)2=2n−2(2n+2n+1−4)S=\frac{n(a+l)}{2}=\frac{2^{n-1}(2^n-1+2^{n+1}+3)}{2}=2^{n-2}(2^n+2^{n+1}-4)

(3)

n番目の最初の数2n−12^n-1にn=8n=8を代入すると28−1=2552^8-1=255

n=9n=9を代入すると29−1=5112^9-1=511

255<501<511255<501<511から8番目の組にある

さらに501−2552+1=124\frac{501-255}{2}+1=124 から124番目にある

よって501はこの数列の8番目の組の124番目の数である

解説: r31bn1z