第1章 1.19

(1)

$a_n = ar^{n-1}$ より

$1 = 32 \cdot r^{6-1} \qquad r^5 = \frac{1}{32} \qquad \therefore r = \frac{1}{2}$

$a_n = 32 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2^6 \cdot 2^{-n} = 2^{6-n}$

第 10 項は

$a_{10} = 2^{6-10} = 2^{-4} = \frac{1}{16}$

(2)

$a_n = ar^{n-1}$ より

$-48 = ar^4 \qquad ①$

$384 = ar^7 \qquad ②$

①／②より

$r^3 = -\frac{384}{48} = -8 \qquad \therefore r = -2$

$r = -2$ を①に代入すると

$-48 = a \cdot (-2)^4 \qquad \therefore a = -3$

よって等比数列の和 S は

$S = \frac{a \cdot (1-r^n)}{1-r} = \frac{-3 \cdot (1-(-2)^n)}{1-(-2)} = (-2)^n - 1$

第 10 項までの和は

$S = (-2)^{10} - 1 = 1023$

(3)

等比数列の和の公式 $S = \dfrac{a \cdot (1-r^n)}{1-r}$ より

$6 = \frac{a \cdot (1-r^2)}{1-r} \qquad 6 = \frac{a(1+r)(1-r)}{1-r} = a(1+r) \qquad a = \frac{6}{1+r} \qquad ①$

また

$60 = \frac{a \cdot (1-r^4)}{1-r} \qquad ②$

②に①を代入すると

$60 = \frac{\dfrac{6}{1+r} \cdot (1-r^4)}{1-r} = \frac{\dfrac{6}{1+r} \cdot (1+r)(1-r)(1+r^2)}{1-r} = 6(1+r^2)$

$10 = 1+r^2 \qquad r^2 = 9 \qquad \therefore r = \pm 3$

$r = \pm 3$ を①に代入して

$a = \frac{6}{1 \pm 3} = \frac{3}{2}、\ -3$

$a = \dfrac{3}{2}$、$r = 3$ のとき

$a_n = ar^{n-1}$ より

$a_n = \frac{3}{2} \cdot 3^{n-1} = \frac{3^n}{2}$

$a_6 = \frac{3^6}{2} = \frac{729}{2}$

$a = -3$、$r = -3$ のとき

$a_n = (-3) \cdot (-3)^{n-1} = (-3)^n$

$a_6 = 3^6 = 729$

よって第 6 項は $\dfrac{729}{2}$、$729$ の解 2 つ