第14章 14.14

(1)

$\angle DAP = x$ とおくと

四角形AEPDの角は$360°$であるので$\angle ADP = \angle AEP = 90°$から

$\angle DPE = 180° - A$

$PD = AP\sin x \qquad PE = AP\sin(A - x)$

また$DE$に関する余弦定理より

$DE^2 = PD^2 + PE^2 - 2PD \cdot PE \cdot \cos(180° - A)$

$= (AP\sin x)^2 + (AP\sin(A - x))^2 - 2(AP\sin x \cdot AP\sin(A - x)) \cdot \cos(180° - A)$

$= AP^2\sin^2 x + AP^2\sin^2(A - x) + 2AP^2\sin x \cdot \sin(A - x) \cdot \cos A$

$= AP^2\sin^2 x + AP^2\sin^2(A - x) + 2AP^2\sin x \cdot \cos A(\sin A \cdot \cos x - \cos A \cdot \sin x)$

$= AP^2\sin^2 x + AP^2\sin^2(A - x) + 2AP^2\sin x \cdot \sin A \cdot \cos A \cdot \cos x - 2AP^2\sin^2 x \cdot \cos^2 A$

$= AP^2\sin^2 x + AP^2(\sin A \cdot \cos x - \cos A \cdot \sin x)^2 + 2AP^2\sin x \cdot \sin A \cdot \cos A \cdot \cos x - 2AP^2\sin^2 x \cdot \cos^2 A$

$= AP^2\sin^2 x + AP^2\sin^2 A \cdot \cos^2 x - AP^2\cos^2 A \cdot \sin^2 x$

$= AP^2(\sin^2 x + \sin^2 A \cdot (1 - \sin^2 x) - (1 - \sin^2 A)\sin^2 x)$

$= AP^2\sin^2 A$

これから

$DE = AP\sin A$

(2)

$AP\sin A$が最小となるには

$AP$が最小となればよい

これは$AP$が$BC$の垂線であれば最小となるので

$AP \perp BC$