高専の数学解説

第14章 14.4

(1)

右図のように考えると

bsin⁡B=csin⁡Cb\sin B = c\sin C

b⋅xc=c⋅xbbc=cbb\cdot\frac{x}{c} = c\cdot\frac{x}{b} \qquad \frac{b}{c} = \frac{c}{b}

[図：三角形ABC。頂点Aから辺aへの垂線の長さをxとする。辺AB = c、辺AC = b、辺BC = a]

これからb=cb = cであり 二等辺三角形となる

(2)

cos⁡A+cos⁡B=2cos⁡A+B2cos⁡A−B2=2cos⁡π−C2cos⁡A−B2=2sin⁡C2cos⁡A−B2\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} = 2\cos\frac{\pi-C}{2}\cos\frac{A-B}{2} = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A-B}{2}

sin⁡C=2sin⁡C2cos⁡C2\sin C = 2\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}

これから

sin⁡C2{cos⁡A−B2−cos⁡C2}=0sin⁡C2=0, cos⁡A−B2−cos⁡C2=0\sin\frac{C}{2}\left\{\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{C}{2}\right\}=0 \qquad \sin\frac{C}{2}=0,\ \cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{C}{2}=0

cos⁡A−B2−cos⁡C2=−2sin⁡A−B2+C22sin⁡A−B2−C22=−2sin⁡A−B+C4sin⁡A−B−C4=0\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{C}{2} = -2\sin\dfrac{\dfrac{A-B}{2}+\dfrac{C}{2}}{2}\sin\dfrac{\dfrac{A-B}{2}-\dfrac{C}{2}}{2} = -2\sin\frac{A-B+C}{4}\sin\frac{A-B-C}{4}=0

C=π−(A+B)C=\pi-(A+B)より

A−B+π−(A+B)4=π−2B4=π4−B2=0B=π2\frac{A-B+\pi-(A+B)}{4} = \frac{\pi-2B}{4} = \frac{\pi}{4}-\frac{B}{2}=0 \qquad B=\frac{\pi}{2}

A−B−π+(A+B)4=2A−π4=A2−π4=0A=π2\frac{A-B-\pi+(A+B)}{4} = \frac{2A-\pi}{4} = \frac{A}{2}-\frac{\pi}{4}=0 \qquad A=\frac{\pi}{2}

これから A 又は B が直角の直角三角形となる

(3)

正弦定理より asin⁡A=csin⁡C=2R\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R 余弦定理より cos⁡B=c2+a2−b22ac\cos B = \dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ac} なので

a2R=2{c2+a2−b22ac}c2R\frac{a}{2R} = 2\left\{\frac{c^2+a^2-b^2}{2ac}\right\}\frac{c}{2R}

a2=a2+c2−b2b2=c2a^2 = a^2+c^2-b^2 \qquad b^2=c^2

これから b=c であり 二等辺三角形となる

(4)

cos⁡A:cos⁡B=b:aacos⁡A=bcos⁡B\cos A:\cos B = b:a \qquad a\cos A = b\cos B

a(b2+c2−a2)2bc=b(c2+a2−b2)2ca\frac{a(b^2+c^2-a^2)}{2bc} = \frac{b(c^2+a^2-b^2)}{2ca}

a2(b2+c2−a2)=b2(c2+a2−b2)a^2(b^2+c^2-a^2) = b^2(c^2+a^2-b^2)

c2a2−a4=b2c2−b4(a2+b2)(a2−b2)−c2(a2−b2)=(a2−b2)(a2+b2−c2)=0c^2a^2 - a^4 = b^2c^2 - b^4 \qquad (a^2+b^2)(a^2-b^2) - c^2(a^2-b^2) = (a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2) = 0

a2+b2=c2a^2+b^2=c^2

これから a=ba=b の二等辺三角形 または C=90∘C=90^\circ の直角三角形となる

(5)

tan⁡2A:tan⁡2B=a2:b2(btan⁡A)2=(atan⁡B)2(bsin⁡A)2cos⁡2A=(asin⁡B)2cos⁡2B\tan^2 A : \tan^2 B = a^2:b^2 \qquad (b\tan A)^2=(a\tan B)^2 \qquad \frac{(b\sin A)^2}{\cos^2 A}=\frac{(a\sin B)^2}{\cos^2 B}

正弦定理より asin⁡A=bsin⁡B=2R\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=2R asin⁡B=bsin⁡Aa\sin B=b\sin A (asin⁡B)2=(bsin⁡A)2(a\sin B)^2=(b\sin A)^2となるので

(bsin⁡A)2cos⁡2A=(asin⁡B)2cos⁡2B1cos⁡2A=1cos⁡2Bcos⁡2A=cos⁡2Bsin⁡2A=sin⁡2B\frac{(b\sin A)^2}{\cos^2 A}=\frac{(a\sin B)^2}{\cos^2 B} \qquad \frac{1}{\cos^2 A}=\frac{1}{\cos^2 B} \qquad \cos^2 A=\cos^2 B \qquad \sin^2 A=\sin^2 B

これから a=ba=b の二等辺三角形となる

(6)

b2sin⁡2C+c2sin⁡2B=2bc⋅cos⁡Bcos⁡Cb^2\sin^2 C + c^2\sin^2 B = 2bc\cdot\cos B\cos C

正弦定理より csin⁡C=bsin⁡B=2R\dfrac{c}{\sin C}=\dfrac{b}{\sin B}=2R c2sin⁡2B=b2sin⁡2Cc^2\sin^2 B = b^2\sin^2 C となるので

2b2sin⁡2C=2bc⋅cos⁡Bcos⁡Cbsin⁡2C=c⋅cos⁡Bcos⁡Cb(1+cos⁡C)(1−cos⁡C)=c⋅cos⁡Bcos⁡C2b^2\sin^2 C = 2bc\cdot\cos B\cos C \qquad b\sin^2 C = c\cdot\cos B\cos C \qquad b(1+\cos C)(1-\cos C)=c\cdot\cos B\cos C

余弦定理より

b{1+a2+b2−c22ab}{1−a2+b2−c22ab}=c{c2+a2−b22ca}{a2+b2−c22ab}b\left\{1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right\}\left\{1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right\}=c\left\{\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\right\}\left\{\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right\}

{2ab+a2+b2−c2}{2ab−a2−b2+c2}={a2−b2+c2}{a2+b2−c2}\{2ab+a^2+b^2-c^2\}\{2ab-a^2-b^2+c^2\}=\{a^2-b^2+c^2\}\{a^2+b^2-c^2\}

{(a+b)2−c2}{c2−(a−b)2}={a2−b2+c2}{a2+b2−c2}\{(a+b)^2-c^2\}\{c^2-(a-b)^2\}=\{a^2-b^2+c^2\}\{a^2+b^2-c^2\}

−(a+b)2(a−b)2−c4+c2(a+b)2+c2(a−b)2=a4−(b2−c2)2-(a+b)^2(a-b)^2-c^4+c^2(a+b)^2+c^2(a-b)^2=a^4-(b^2-c^2)^2

2a2(b2+c2)=2a4b2+c2=a22a^2(b^2+c^2)=2a^4 \qquad b^2+c^2=a^2

これから A=90∘A=90^\circ の直角三角形となる

解説: r31bn1z