第14章 14.2

(1)

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$ から

$= 9 + 16 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13 \qquad a = \sqrt{13}$

(2)

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B$ から

$= 18 + 16 - 24\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 34 - 24 = 10 \qquad b = \sqrt{10}$

(3)

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$ から

$6 = 12 + 9 + 6\sqrt{3} + 3 - 4\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})\cos A$

$\cos A = \frac{18 + 6\sqrt{3}}{4\sqrt{3}(3 + \sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3} + 3}{2(3 + \sqrt{3})} = \frac{(3\sqrt{3} + 3)(3 - \sqrt{3})}{2(9 - 3)} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \qquad A = 30°$

(4)

$c^2 = b^2 + a^2 - 2ab \cdot \cos C$ $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$

この2式から$a^2$と$c^2$を消去すると $2b^2 - 2b(c \cdot \cos A + a \cdot \cos C) = 0$

それぞれに値を代入し$a$について解くと $a = \sqrt{2}(b - 5)$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \qquad a^2 = b^2 + 100 - 20b \cdot \frac{1}{2} = b^2 + 100 - 10b$

$\{\sqrt{2}(b - 5)\}^2 = b^2 - 10b + 100 \qquad 2(b^2 - 10b + 25) = b^2 - 10b + 100$

$b^2 - 10b - 50 = 0$

$b > 0$ であることから $b = 5 + 5\sqrt{3}$

(5)

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B$ $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$

この２式から$b^2$を消去すると $2a^2 - 2b^2 - 2c(a \cdot \cos B - b \cdot \cos A)$

それぞれに値を代入し c について解くと $c = \dfrac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}\cos A}$

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$ の式にそれぞれ代入すると

$4 = 2 + \left(\dfrac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}\cos A}\right)^2 - 2\sqrt{2}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3} - \sqrt{2}\cos A}\right)\cos A$

$\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\cos A\right)^2 = 2 - 2\sqrt{2}\left(\sqrt{3} - \sqrt{2}\cos A\right)\cos A$

$1 = 2\cos^2 A \qquad \cos A = \pm\dfrac{1}{\sqrt{2}} \qquad A = 45°、135°$