高専の数学解説

第13章 13.28

(1)

25x2−kx+12=0x2−k25x+1225=025x^2 - kx + 12 = 0 \qquad x^2 - \frac{k}{25}x + \frac{12}{25} = 0

(x−sin⁡2θ)(x−cos⁡2θ)=x2−(sin⁡2θ+cos⁡2θ)x+sin⁡2θcos⁡2θ=0(x-\sin2\theta)(x-\cos2\theta) = x^2 - (\sin2\theta+\cos2\theta)x + \sin2\theta\cos2\theta = 0

この2式から sin⁡2θcos⁡2θ=1225\sin2\theta\cos2\theta = \dfrac{12}{25}

sin⁡2θ+cos⁡2θ=k25(sin⁡2θ+cos⁡2θ)2=k22521+2sin⁡2θcos⁡2θ=k2252\sin2\theta+\cos2\theta = \frac{k}{25} \qquad (\sin2\theta+\cos2\theta)^2 = \frac{k^2}{25^2} \qquad 1+2\sin2\theta\cos2\theta = \frac{k^2}{25^2}

これから 1+2⋅1225=k22524925=k22521225=k2k=±351+2\cdot\dfrac{12}{25} = \dfrac{k^2}{25^2} \qquad \dfrac{49}{25} = \dfrac{k^2}{25^2} \qquad 1225 = k^2 \qquad k = \pm35

(2)

k=35k=35 のとき 25x2−35x+12=025x^2 - 35x + 12 = 0

(5x−4)(5x−3)=0(5x-4)(5x-3)=0 x=45,35x=\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{5}

k=−35k=-35 のとき 25x2+35x+12=025x^2+35x+12=0 (5x+4)(5x+3)=0(5x+4)(5x+3)=0 x=−45,−35x=-\dfrac{4}{5},-\dfrac{3}{5}

tan⁡2θ=sin⁡2θcos⁡2θ\tan2\theta = \dfrac{\sin2\theta}{\cos2\theta} なので tan⁡2θ=34,43\tan2\theta = \dfrac{3}{4},\dfrac{4}{3}

(3)

tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ=2sin⁡θcos⁡θ2cos⁡θcos⁡θ=sin⁡2θcos⁡2θ+1\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{2\cos\theta\cos\theta} = \frac{\sin2\theta}{\cos2\theta+1}

sin⁡2θ=45\sin2\theta=\dfrac{4}{5} cos⁡2θ=35\cos2\theta=\dfrac{3}{5} のとき tan⁡θ=4535+1=12\tan\theta = \dfrac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}+1} = \dfrac{1}{2}

sin⁡2θ=35\sin2\theta=\dfrac{3}{5} cos⁡2θ=45\cos2\theta=\dfrac{4}{5} のとき tan⁡θ=3545+1=13\tan\theta = \dfrac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}+1} = \dfrac{1}{3}

sin⁡2θ=−45\sin2\theta=-\dfrac{4}{5} cos⁡2θ=−35\cos2\theta=-\dfrac{3}{5} のとき tan⁡θ=−45−35+1=−2\tan\theta = \dfrac{-\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}+1} = -2

sin⁡2θ=−35\sin2\theta=-\dfrac{3}{5} cos⁡2θ=−45\cos2\theta=-\dfrac{4}{5} のとき tan⁡θ=−35−45+1=−3\tan\theta = \dfrac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}+1} = -3

解説: r31bn1z