第11章 11.15

下図のようにOO’の中点を $C$ とおくと

$OC = O'C = \frac{\sqrt{3}}{2}a$

となる。これから図の $\theta$ は

$\theta = \cos^{-1}\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a} = \frac{\pi}{6}, \qquad 2\theta = \frac{\pi}{3}$

よって弧ABと中心Oによって出来る扇の面積は

$S = \pi a^2 \cdot \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi} = \frac{\pi a^2}{6}$

$\triangle ABO = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$

弧ABと弦ABによって出来る面積は

$\frac{\pi a^2}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{12}a^2$

共通部分の面積は

$\frac{2\pi - 3\sqrt{3}}{6}a^2$

四角形AOBO’の面積は

$\left(\sqrt{3}a \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2$

よって面積の比は 共通部分 : 四角形 $= \dfrac{2\pi - 3\sqrt{3}}{6}a^2 : \dfrac{\sqrt{3}}{2}a^2 = (2\pi - 3\sqrt{3}) : 3\sqrt{3}$