第11章 11.13

(1)

右図から θ は

$\cos\theta = \dfrac{\frac{1}{2}a}{a} = \dfrac{1}{2} \qquad \theta = \dfrac{1}{3}\pi$

これより $\angle AOB = \dfrac{2\pi}{3}$

(2)

弦 $AB = \dfrac{\sqrt{3}}{2}a \cdot 2 = \sqrt{3}a$

弧 $AB = r\theta = a \cdot \dfrac{2}{3}\pi = \dfrac{2}{3}\pi a$

(3)

円 O 側の中心角 $\dfrac{2}{3}\pi$ となる扇の面積は $S = \pi a^2 \cdot \dfrac{\frac{2}{3}\pi}{2\pi} = \dfrac{\pi a^2}{3}$

$\triangle AO'B$ の面積は $\sqrt{3}a \cdot \dfrac{1}{2}a \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2$

よって弦 AB と弧 AO’B で囲まれた面積は $\dfrac{\pi a^2}{3} - \dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{12}a^2$

同様に弦 AB と弧 AOB で囲まれた面積も $\dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{12}a^2$ なので

２つの円の共通部分の面積は $\dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{12}a^2 \cdot 2 = \dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{6}a^2$