第9章 9.18

(1)

$\begin{cases} 4^x = 8^{y+1} \\ 3^x = 9^{y-3} \end{cases}$

$4^x = 8^{y+1}$ 両辺対数をとって $x\log 4 = (y+1)\log 8$ $2x = 3(y+1)$ ①

$3^x = 9^{y-3}$ 両辺対数をとって $x\log 3 = (y-3)\log 9$ $x = 2(y-3)$ ②

②を①に代入して

$4(y-3) = 3(y+1)$ $y = 15$ ③

③を②に代入して

$x = 24$ よって$(x,y) = (24,15)$

(2)

$\begin{cases} 2^{y-x+1} = 8 \\ 4^x + 60 = 4^y \end{cases}$

$2^{y-x+1} = 8$ 両辺対数をとって $(y-x+1)\log 2 = \log 8$ $y-x+1 = 3$ $y = 2+x$ ①

$4^x + 60 = 4^y$ $4^x - 4^y = -60$ ②

①を②に代入して

$4^x - 4^{2+x} = -60$ $4^x(1-16) = -60$ $4^x = 4$ $x = 1$

これを①に代入して $y=3$ よって$(x,y) = (1,3)$

(3)

$\begin{cases} 2^x + 2^y = 12 & ① \\ 2^{x+y} = 32 & ② \end{cases}$

①に$2^y$をかけて

$2^{x+y} + 2^{2y} = 12 \cdot 2^y$ ③

③－②より

$2^{2y} = 12 \cdot 2^y - 32$ $2^{2y} - 3 \cdot 2^{y+2} + 2^5 = 0$ $(2^y - 2^3)(2^y - 2^2) = 0$ $y = 2,3$

これを②に代入すると $x = 3,2$

よって$(x,y) = (2,3), (3,2)$

(4)

$\begin{cases} 3^x - 3^y = 18 & ① \\ 3^{x+y} = 243 & ② \end{cases}$

①の両辺に $3^y$ をかけて $3^{x+y} - 3^{2y} = 18 \cdot 3^y$ ②

①－②より

$-3^{2y} = 18 \cdot 3^y - 243 = 2 \cdot 3^{y+2} - 3^5 \qquad 3^{2y} + 2 \cdot 3^{y+2} - 3^5 = 0 \qquad (3^y + 3^3)(3^y - 3^2) = 0$

$y = 3, 2$

これを②に代入して $x = 2, 3$

ここで $(x, y) = (2, 3)$ は①より不適 よって $(x, y) = (3, 2)$