第7章 7.2

(1)

$\frac{3x-7}{(x+3)(x-1)} = \frac{a}{x+3} + \frac{b}{x-1}$

右辺$=\dfrac{a(x-1)+b(x+3)}{(x+3)(x-1)} = \dfrac{(a+b)x-a+3b}{(x+3)(x-1)}$

これから

$a+b=3$ $-a+3b=-7$ となればよいので左の式の連立方程式を解くと $a=4$ $b=-1$

(2)

$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{a}{x} + \frac{bx+c}{x^2+1}$

右辺$=\dfrac{a(x^2+1)+(bx+c)x}{x(x^2+1)} = \dfrac{(a+b)x^2+cx+a}{x(x^2+1)}$

これから

$a+b=0$ $c=0$ $a=1$ となればよいので $a=1$ $b=-1$ $c=0$

(3)

$\frac{x^2-8x+18}{(x+1)(x-2)^2} = \frac{a}{x+1} + \frac{b}{x-2} + \frac{c}{(x-2)^2}$

右辺$=\dfrac{a(x-2)^2+b(x+1)(x-2)+c(x+1)}{(x+1)(x-2)^2} = \dfrac{a(x^2-4x+4)+b(x^2-x-2)+c(x+1)}{(x+1)(x-2)^2}$

$=\dfrac{(a+b)x^2+(-4a-b+c)x+(4a-2b+c)}{(x+1)(x-2)^2}$

これから

$a+b=1$ $-4a-b+c=-8$ $4a-2b+c=18$ となればよいので $a=3$ $b=-2$ $c=2$

(4)

$\frac{3x^2-5x+4}{(x-1)^3} = \frac{a}{(x-1)^3} + \frac{b}{(x-1)^2} + \frac{c}{x-1}$

右辺$=\dfrac{a+b(x-1)+c(x-1)^2}{(x-1)^3} = \dfrac{a+b(x-1)+c(x^2-2x+1)}{(x-1)^3} = \dfrac{cx^2+(b-2c)x+(a-b+c)}{(x-1)^3}$

これから

$c=3$ $b-2c=-5$ $a-b+c=4$ となればよいので $a=2$ $b=1$ $c=3$