高専の数学解説

第5章 5.22

x2+(10−2m)x+(2m2−4m−2)=0x^2 + (10-2m)x + (2m^2-4m-2) = 0

実数解を持つには判別式 D=(10−2m)2−4(2m2−4m−2)≥0D = (10-2m)^2 - 4(2m^2-4m-2) \geq 0 となればよい

100−40m+4m2−8m2+16m+8=−4m2−24m+108=−4(m2+6m−27)≥0100 - 40m + 4m^2 - 8m^2 + 16m + 8 = -4m^2 - 24m + 108 = -4(m^2+6m-27) \geq 0

(m+9)(m−3)≤0−9≤m≤3(m+9)(m-3) \leq 0 \quad -9 \leq m \leq 3

x=(5−m)±(5−m)2−(2m2−4m−2)=(5−m)±−m2−6m+27x = (5-m) \pm \sqrt{(5-m)^2 - (2m^2-4m-2)} = (5-m) \pm \sqrt{-m^2-6m+27}

２つの解の積は

(5−m)2−(−m2−6m+27)=25−10m+m2+m2+6m−27=2m2−4m−2(5-m)^2 - (-m^2-6m+27) = 25 - 10m + m^2 + m^2 + 6m - 27 = 2m^2 - 4m - 2

f(m)=2m2−4m−2f(m) = 2m^2-4m-2 とすると f(m)=2(m2−2m)−2=2(m−1)2−4f(m) = 2(m^2-2m)-2 = 2(m-1)^2-4

よって最小値はm=1m=1のとき−4-4

最大値はm=−9m=-9のとき196196

解説: r31bn1z