第5章 5.21

(1)

$x^2 + 4y^2 = 2x$ また $x + y = k$ とおくと $y = (k - x)$ これを代入すると

$x^2 + 4(k-x)^2 = 2x \qquad x^2 + 4k^2 - 8kx + 4x^2 = 2x \qquad 5x^2 - 2(4k+1)x + 4k^2 = 0$

$x = \frac{4k + 1 \pm \sqrt{(4k+1)^2 - 20k^2}}{5}$

これが実数解を持つには

$(4k+1)^2 - 20k^2 \geq 0 \qquad 16k^2 + 8k + 1 - 20k^2 = -4k^2 + 8k + 1 \geq 0 \qquad 4k^2 - 8k - 1 \leq 0$

ここで $4k^2 - 8k - 1 = 0$ とすると $k = \dfrac{4 \pm \sqrt{16+4}}{4} = \dfrac{2 \pm \sqrt{5}}{2}$

これから $k$ の範囲は

$\frac{2-\sqrt{5}}{2} \leq k \leq \frac{2+\sqrt{5}}{2}$ となるので 最小値 $\dfrac{2-\sqrt{5}}{2}$ 最大値 $\dfrac{2+\sqrt{5}}{2}$

(2)

$xy = 1$ また $x + y = k$ とおくと $y = (k - x)$ これを代入すると

$x(k-x) = 1 \qquad x^2 - kx + 1 = 0 \qquad x = \frac{k \pm \sqrt{k^2 - 4}}{2}$

これが実数解を持つには $k^2 - 4 \geq 0$ $(k-2)(k+2) \geq 0$

条件から $k \geq 2$ となるので 最小値は $2$