第5章 5.18

(1)

判別式 $D = b^2 - 4ac$ これが $0$ となれば $x$ 軸と $1$ 点で交わるので $b^2 - 4ac = 0$

(2)

判別式 $D = b^2 - 4ac$ これが $0$ より大きくなればよいので $b^2 - 4ac > 0$

(3)

判別式 $D = b^2 - 4ac$ これが $0$ より大きくなればよいので $b^2 - 4ac > 0$

$ax^2 + bx + c = 0$ のとき $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ である

$a > 0$ のとき $x$ が共に正であるためには

$-b - \sqrt{b^2 - 4ac} > 0$ $-b + \sqrt{b^2 - 4ac} > 0$ であればよく

$\sqrt{b^2 - 4ac} > 0$ から $b < -\sqrt{b^2 - 4ac}$ $b < \sqrt{b^2 - 4ac}$ ２つの不等式を満たすとき、$b$ は負である

$b$ は負であることから、両辺を２乗すると $b^2 > b^2 - 4ac$ $ac > 0$ が求まる

同様に $a < 0$ のとき

$-b - \sqrt{b^2 - 4ac} < 0$ $-b + \sqrt{b^2 - 4ac} < 0$ であればよく

$\sqrt{b^2 - 4ac} > 0$ から $b > \sqrt{b^2 - 4ac}$ $b > -\sqrt{b^2 - 4ac}$ ２つの不等式を満たすとき、$b$ は正である

$b$ は正であることから、両辺を２乗すると $b^2 > b^2 - 4ac$ $ac > 0$ が求まる

$a > 0$ のとき $b < 0$ $a < 0$ のとき $b > 0$ この条件を書き直すと $ab < 0$ と書ける

よって条件は $b^2 - 4ac > 0$ $ac > 0$ $ab < 0$

(4)

２点で交わるので判別式 $D = b^2 - 4ac$ これが $0$ より大きくなればよいので $b^2 - 4ac > 0$

$ax^2 + bx + c = 0$ のとき $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ これが正と負になるので

$a > 0$ のとき$\sqrt{b^2-4ac} > 0$ から $\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} < 0$ $\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} > 0$ となる

$-b-\sqrt{b^2-4ac} < 0$ $-b < \sqrt{b^2-4ac}$ $-b+\sqrt{b^2-4ac} > 0$ $b < \sqrt{b^2-4ac}$

この条件から $b$ の符号によらず $ac<0$であれば常に成り立つ

$a<0$ でも同様に考えた際、$ac<0$ が求まる

$ac<0$ であれば $b^2-4ac>0$ は常に成り立つため $ac<0$が条件となる

(5)

全ての象限を通るので

$x$軸と$2$点で交わり一方が負なら他方が$0$より大きく、一方が正なら他方が$0$より小さくなればよい

これは(4)と同じ条件であることになるため

$ac<0$ が条件となる

(6)

$x$軸よりも上にはグラフがないので $a<0$となる

また$x$軸との交点が$2$点あると第$1$、$2$象限を通ってしまうため

$x$軸と交わらないか、多くとも交点は$1$つであり、その際$x$軸と接する形となる

これから判別式 $D = b^2 - 4ac$ これが $0$ 以下となればよいので $b^2 - 4ac \leq 0$

よって条件は$a<0$ $b^2-4ac \leq 0$