高専の数学解説

第4章 4.28

(1)

2x2+6x−3=02x^2+6x-3=0

x=−3±9+62=−3±152x=\frac{-3\pm\sqrt{9+6}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{15}}{2}

逆数は

2−3±15=2(−3∓15)9−15=−2(−3∓15)6=3±153\frac{2}{-3\pm\sqrt{15}}=\frac{2(-3\mp\sqrt{15})}{9-15}=-\frac{2(-3\mp\sqrt{15})}{6}=\frac{3\pm\sqrt{15}}{3}

これが解なので

(x−3+153)(x−3−153)=x2−3+15+3−153x+(3+153)(3−153)=x2−2x+9−159\left(x-\frac{3+\sqrt{15}}{3}\right)\left(x-\frac{3-\sqrt{15}}{3}\right)=x^2-\frac{3+\sqrt{15}+3-\sqrt{15}}{3}x+\left(\frac{3+\sqrt{15}}{3}\right)\left(\frac{3-\sqrt{15}}{3}\right)=x^2-2x+\frac{9-15}{9}

=x2−2x−23=0=x^2-2x-\frac{2}{3}=0

3x2−6x−2=03x^2-6x-2=0

２乗の解はそれぞれ

(−3+152)2=9−615+154=12−3152\left(\frac{-3+\sqrt{15}}{2}\right)^2=\frac{9-6\sqrt{15}+15}{4}=\frac{12-3\sqrt{15}}{2}

(−3−152)2=9+615+154=12+3152\left(\frac{-3-\sqrt{15}}{2}\right)^2=\frac{9+6\sqrt{15}+15}{4}=\frac{12+3\sqrt{15}}{2}

これが解なので

(x−12+3152)(x−12−3152)=x2−12+315+12−3152x+(12−3152)(12+3152)\left(x-\frac{12+3\sqrt{15}}{2}\right)\left(x-\frac{12-3\sqrt{15}}{2}\right)=x^2-\frac{12+3\sqrt{15}+12-3\sqrt{15}}{2}x+\left(\frac{12-3\sqrt{15}}{2}\right)\left(\frac{12+3\sqrt{15}}{2}\right)

=x2−12x+144−1354=x2−12x+94=0=x^2-12x+\frac{144-135}{4}=x^2-12x+\frac{9}{4}=0

4x2−48x+9=04x^2-48x+9=0

(2)

3x2−6x−8=03x^2-6x-8=0

x=3±9+243=3±333x=\frac{3\pm\sqrt{9+24}}{3}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{3}

逆数は

33±33=3(3∓33)9−33=3(3∓33)−24=−3±338\frac{3}{3\pm\sqrt{33}}=\frac{3(3\mp\sqrt{33})}{9-33}=\frac{3(3\mp\sqrt{33})}{-24}=\frac{-3\pm\sqrt{33}}{8}

これが解なので

(x−−3+338)(x−−3−338)=x2−−3+33−3−338x+(−3−338)(−3+338)\left(x-\frac{-3+\sqrt{33}}{8}\right)\left(x-\frac{-3-\sqrt{33}}{8}\right)=x^2-\frac{-3+\sqrt{33}-3-\sqrt{33}}{8}x+\left(\frac{-3-\sqrt{33}}{8}\right)\left(\frac{-3+\sqrt{33}}{8}\right)

=x2+68x+9−3364=x2+34x−38=0= x^2 + \frac{6}{8}x + \frac{9-33}{64} = x^2 + \frac{3}{4}x - \frac{3}{8} = 0

8x2+6x−3=08x^2 + 6x - 3 = 0

2 乗の解はそれぞれ

(3+333)2=9+633+339=14+2333(3−333)2=9−633+339=14−2333\left(\frac{3+\sqrt{33}}{3}\right)^2 = \frac{9+6\sqrt{33}+33}{9} = \frac{14+2\sqrt{33}}{3} \qquad \left(\frac{3-\sqrt{33}}{3}\right)^2 = \frac{9-6\sqrt{33}+33}{9} = \frac{14-2\sqrt{33}}{3}

これが解なので

(x−14+2333)(x−14−2333)=x2−14+233+14−2333x+(14+2333)(14−2333)\left(x-\frac{14+2\sqrt{33}}{3}\right)\left(x-\frac{14-2\sqrt{33}}{3}\right) = x^2 - \frac{14+2\sqrt{33}+14-2\sqrt{33}}{3}x + \left(\frac{14+2\sqrt{33}}{3}\right)\left(\frac{14-2\sqrt{33}}{3}\right)

=x2−283x+196−1329=x2−283x+649=0= x^2 - \frac{28}{3}x + \frac{196-132}{9} = x^2 - \frac{28}{3}x + \frac{64}{9} = 0

9x2−84x+64=09x^2 - 84x + 64 = 0

解説: r31bn1z