第4章 4.19

(1)

$x + y = 5 \qquad ① \qquad x^2 + y^2 = 7 + xy \qquad ②$

①から $y = 5 - x$ これを②に代入して

$x^2 + (5-x)^2 = 7 + x(5-x) \qquad x^2 + x^2 - 10x + 25 = 7 - x^2 + 5x$

$3x^2 - 15x + 18 = 0 \qquad (3x-6)(x-3) = 0 \qquad x = 2, 3$

$x = 2$ のとき $y = 3$ $x = 3$ のとき $y = 2$ よって $(x, y) = (2, 3), (3, 2)$

(2)

$3x + y = 1 \qquad ① \qquad x^2 + 3y^2 = 1 \qquad ②$

①から $y = 1 - 3x$ これを②に代入して

$x^2 + 3(1-3x)^2 = 1 \qquad x^2 + 3 - 18x + 27x^2 = 1 \qquad 28x^2 - 18x + 2 = 0 \qquad 14x^2 - 9x + 1 = 0$

$(7x-1)(2x-1) = 0 \qquad x = \frac{1}{7}, \frac{1}{2}$

$x = \dfrac{1}{7}$ のとき $y = \dfrac{4}{7}$ $x = \dfrac{1}{2}$ のとき $y = -\dfrac{1}{2}$ よって $(x, y) = \left(\dfrac{1}{7}, \dfrac{4}{7}\right), \left(\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{2}\right)$

(3)

$x + 2y = 3 \qquad ① \qquad x^2 + 3x - 2y^2 = 2 \qquad ②$

①から $x = 3 - 2y$ これを②に代入して

$(3-2y)^2 + 3(3-2y) - 2y^2 = 2 \qquad 9 - 12y + 4y^2 + 9 - 6y - 2y^2 = 2 \qquad 2y^2 - 18y + 16 = 0$

$y^2 - 9y + 8 = 0 \qquad (y-8)(y-1) = 0 \qquad y = 8, 1$

$y = 8$ のとき $x = -13$ $y = 1$ のとき $x = 1$ よって $(x, y) = (1, 1), (-13, 8)$

(4)

$x + y = 2 \qquad ① \qquad x^2 + 3xy = 4y^2 \qquad ②$

①から $y = 2 - x$ これを②に代入して

$x^2 + 3x(2-x) = 4(2-x)^2 \qquad x^2 + 6x - 3x^2 = 16 - 16x + 4x^2 \qquad 6x^2 - 22x + 16 = 0 \qquad 3x^2 - 11x + 8 = 0$

$(3x-8)(x-1) = 0 \qquad x = \frac{8}{3}, 1$

$x = 1$ のとき $y = 1$ $x = \dfrac{8}{3}$ のとき $-\dfrac{2}{3}$ よって $(x, y) = (1, 1), \left(\dfrac{8}{3}, -\dfrac{2}{3}\right)$

(5)

$2x + y - 5 = 0$ ① $x^2 + y^2 - 25 = 0$ ②

①から $y = 5 - 2x$ これを②に代入して

$x^2 + (5-2x)^2 - 25 = 0$ $x^2+25-20x+4x^2-25=0$ $5x^2-20x=0$ $5x(x-4)=0$ $x=0,4$

$x=0$ のとき $y=5$ $x=4$ のとき $y=-3$ よって$(x,y)=(0,5),(4,-3)$

(6)

$2x+3y=1$ ① $x^2-3y^2-2x+3=0$ ②

①から $y=\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}x$ これを②に代入して

$x^2-3\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{2}{3}x\right)^2-2x+3=0$ $x^2-\dfrac{1}{3}+\dfrac{4}{3}x-\dfrac{4}{3}x^2-2x+3=0$ $3x^2-1+4x-4x^2-6x+9=0$

$x^2+2x-8=0$ $(x+4)(x-2)=0$ $x=2,-4$

$x=2$ のとき $y=-1$ $x=-4$ のとき $y=3$ よって$(x,y)=(2,-1),(-4,3)$

(7)

$2x-y=1$ ① $x^2-2xy+3y^2+2x-4=0$ ②

①から $y=2x-1$ これを②に代入して

$x^2-2x(2x-1)+3(2x-1)^2+2x-4=0$ $x^2-4x^2+2x+12x^2-12x+3+2x-4=0$

$9x^2-8x-1=0$ $(9x+1)(x-1)=0$ $x=-\dfrac{1}{9},1$

$x=1$ のとき $y=1$ $x=-\dfrac{1}{9}$ のとき $x=-\dfrac{11}{9}$ よって$(x,y)=(1,1)\left(-\dfrac{1}{9},-\dfrac{11}{9}\right)$