第3章 3.16

(1)

$y = ax^2 + 2ax + 3 = a(x^2 + 2x) + 3 = a(x+1)^2 - a + 3$

これから頂点は $(-1, -a+3)$ となるので

$a > 0$ のとき最小値 $-a+3$

$a < 0$ のとき最大値 $-a+3$

(2)

$y = p(x-a)(x-b) = p\{x^2 - (a+b)x + ab\} = p\left(x - \frac{a+b}{2}\right)^2 - \frac{p(a+b)^2}{4} + pab$

$= p\left(x - \frac{a+b}{2}\right)^2 - \frac{p(a^2 + 2ab + b^2 - 4ab)}{4} = p\left(x - \frac{a+b}{2}\right)^2 - \frac{p(a-b)^2}{4}$

これから頂点は $\left(\dfrac{a+b}{2}, -\dfrac{p(a-b)^2}{4}\right)$ となるので

$p > 0$ のとき最小値 $-\dfrac{p(a-b)^2}{4}$

$p < 0$ のとき最大値 $-\dfrac{p(a-b)^2}{4}$