点0,α,β0,α,β0,α,βが正三角形の頂点なので ∣α∣=∣β∣|α| = |β|∣α∣=∣β∣ ∠α0β=∠0αβ=∠0βα=π3\angle α0β = \angle 0αβ = \angle 0βα = \frac{\pi}{3}∠α0β=∠0αβ=∠0βα=3π となる arg(α−0β−0)=arg(αβ)=±π3\text{arg}\left(\frac{α - 0}{β - 0}\right) = \text{arg}\left(\frac{α}{β}\right) = \pm\frac{\pi}{3}arg(β−0α−0)=arg(βα)=±3π であるので arg(αβ)3=±π\text{arg}\left(\frac{α}{β}\right)^3 = \pm πarg(βα)3=±π これから (αβ)3=−1\left(\frac{α}{β}\right)^3 = -1(βα)3=−1 α3+β3=0α^3 + β^3 = 0α3+β3=0 (α+β)(α2−αβ+β2)=0(α + β)(α^2 - αβ + β^2) = 0(α+β)(α2−αβ+β2)=0 ここでα+β≠0α + β ≠ 0α+β=0から α2−αβ+β2=0α^2 - αβ + β^2 = 0α2−αβ+β2=0 が必要十分条件である