α=a+bi\alpha = a + biα=a+bi，β=c+di\beta = c + diβ=c+di とおくと α+β=(a+c)+(b+d)i\alpha + \beta = (a+c) + (b+d)iα+β=(a+c)+(b+d)i 実数であるには b=−db = -db=−d となる αβ=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i\alpha\beta = (a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)iαβ=(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i 実数であるには ad+bc=0ad + bc = 0ad+bc=0 となる b=−db = -db=−d から −ab+bc=0-ab + bc = 0−ab+bc=0 a=ca = ca=c これから α=a+bi\alpha = a + biα=a+bi なら β=a−bi\beta = a - biβ=a−bi となり 共役複素数となる