第10章 10.27

(1)

$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = ky^2 - C$

微分して $2\frac{dy}{dx}\cdot\frac{d^2y}{dx^2} = 2ky\frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} \neq 0$ のとき $2y'' = 2ky$ これから

$y = Ae^{\sqrt{k}x} + Be^{-\sqrt{k}x}$

$\frac{dy}{dx} = 0$ のとき $y = D$ として

$0 = kD^2 - C \quad D = \pm\sqrt{\frac{k}{C}}$ これから

$y = \pm\sqrt{\frac{k}{C}}$

(2)

$k > 0$ のとき $A = 0$ として

$y = Be^{-\sqrt{k}x}$

$k < 0$ のとき $y = Ae^{\sqrt{k}x} + Be^{-\sqrt{k}x} = A(\cos\sqrt{kx} + i\sin\sqrt{kx}) + B(\cos\sqrt{kx} - i\sin\sqrt{kx})$

$A + B = A' \quad A - B = B'$ おくと

$y = A'\cos\sqrt{kx} + B'\sin\sqrt{kx}$

$k = 0$ のとき $\frac{dy}{dx} \neq 0$ で $y'' = ky$ から $y = nx + m$

有界になるには $n = 0$ これから $y = m$

与式に代入して $0 = km^2 - C$

$k = 0$ から $C = 0$

これから $C = 0$ に限り $y = m$ となる

$\frac{dy}{dx} = 0$ のときも同じである