第10章 10.25

(1)

$\frac{d^2x}{dt^2} + 2b\frac{dx}{dt} + w^2 x = 0$

特性方程式は $s^2 + 2bs + w^2 = 0$ $\therefore s = b \pm \sqrt{b^2 - w^2}$

$b^2 - w^2 \leq 0$ から $s = b \pm i\sqrt{w^2 - b^2}$ 等号のときは $s = 0$（重解）これから

$b^2 - w^2 = 0$ のとき $x = Ate^{-bt} + Be^{-bt}$

$b^2 - w^2 < 0$ のとき $x = e^{-bt}(A\sin\sqrt{w^2-b^2}t + B\cos\sqrt{w^2-b^2}t)$ （A,B は任意定数）

(1)

において $b^2 - w^2 = 0$ $x_{(0)} = 0$ から $B = 0$

$x' = Ae^{-bt} - bAte^{-bt}$

$x'_{(0)} = 1$ から $A = 1$ これから

$x = te^{-bt}$

$b^2 - w^2 < 0$ のとき $x_{(0)} = 0$ から $B = 0$

$x' = -be^{-bt}(A\sin\sqrt{w^2-b^2}t) + e^{-bt}(A\sqrt{w^2-b^2}\cos\sqrt{w^2-b^2}t) = 1$

$x'_{(0)} = 1$ から $A = \frac{1}{\sqrt{w^2-b^2}}$ これから

$x = \frac{1}{\sqrt{w^2-b^2}} e^{-bt} \sin\sqrt{w^2-b^2}t$