第10章 10.22

(1)

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x_{(0)} \\ y_{(0)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x' = 4x - 5y & \text{①} \\ y' = 2x - 3y & \text{②} \end{cases}$

①を微分して $x'' = 4x' - 5y'$ $5y' = 4x' - x''$ ③

①×３−②×５から $3x' - 5y' = 2x$ ④

③を④に代入して整理すると $3x' - 4x' + x'' = 2x$ $x'' - x' - 2x = 0$

特性方程式は $(s - 2)(s + 1) = 0$ $\therefore s = 2, -1$ これから

$x = Ae^{2t} + Be^{-t}$ ⑤

$x' = 2Ae^{2t} - Be^{-t}$ ⑥

⑤、⑥をに代入して整理すると

$y = \frac{2}{5}Ae^{2t} + Be^{-t}$

$x_{(0)} = 8$，$y_{(0)} = 5$から $A = 5$，$B = 3$となり

$x = 5e^{2t} + 3e^{-t}$ $y = 2e^{2t} + 3e^{-t}$

(2)

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix} x_{(0)} \\ y_{(0)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}$

$\begin{cases} x' = 8x + 2y & \text{①} \\ y' = 2x + 5y & \text{②} \end{cases}$

①を微分して $x'' = 8x' + 2y'$ $2y' = x'' - 8x'$ ③

①×５−②×２から $5x' - 2y' = 36x$ ④

③を④に代入して整理すると $x'' - 13x' + 36x = 0$

特性方程式は $s^2 - 13s + 36 = 0$ $(s - 9)(s - 4) = 0$ $\therefore s = 9, 4$ これから

$x = Ae^{9t} + Be^{4t}$ ⑤

$x' = 9Ae^{9t} + 4Be^{4t}$ ⑥

⑤、⑥を①に代入して整理すると

$y = \frac{1}{2}Ae^{9t} - 2Be^{4t}$ ⑦

$x_{(0)} = \frac{2}{\sqrt{5}}, y_{(0)} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

から $A = \frac{2}{\sqrt{5}}, B = 0$ となり これから

$x = \frac{2}{\sqrt{5}}e^{9t} \quad y = \frac{1}{\sqrt{5}}e^{9t}$