第10章 10.10

(1)

$xy'' + 2y' - 4xy = 0$ $\quad$ $y'' + \frac{2}{x}y' - 4y = 0$

$P_{(x)} = \frac{2}{x}$、$Q_{(x)} = -4$、$R_{(x)} = 0$ とおくと

$y = \exp\left(-\frac{1}{2}\int\frac{2}{x}dx\right) \cdot v = \frac{v}{x}$ これから

$I = -4 + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} = -4$、$J = 0$ これから

$v'' - 4v = 0$

特性方程式は $s^2 - 4 = 0$ $\therefore s = \pm 2$ これから

$v = Ae^{2x} + Be^{-2x}$ 元に戻して

$xy = Ae^{2x} + Be^{-2x}$ （A,B は任意定数）

(2)

$y'' - \frac{2}{x}y' + \left(\frac{2}{x^2} + 9\right)y = 0$

$P = -\frac{2}{x}$、$Q = \frac{2}{x^2} + 9$、$R = 0$ とおくと

$y = \exp\left(-\frac{1}{2}\int -\frac{2}{x}dx\right) \cdot v = xv$ これから

$I = Q - \frac{1}{2}P' - \frac{1}{4}P^2 = \frac{2}{x^2} + 9 - \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 9$、$J = 0$ これから

$v'' + 9v = 0$

特性方程式は $s^2 + 9 = 0$ $\therefore s = \pm 3i$ これから

$v = A\sin 3x + B\cos 3x$ 元に戻して

$y = x(A\sin 3x + B\cos 3x)$ （A,B は任意定数）

(3)

$y'' - 2y'\tan x - 5y = 0$

$P = -2\tan x$、$Q = -5$、$R = 0$ とおくと

$y = \exp\left(-\frac{1}{2}\int -2\tan x \, dx\right) \cdot v = \exp(-\log(\cos x)) \cdot v = \frac{v}{\cos x}$ これから

$I = -5 + \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = -4$ これから

$v'' - 4v = 0$

特性方程式は $s^2 - 4 = 0$ $\therefore s = \pm 2$ これから

$v = Ae^{2x} + Be^{-2x}$ 元に戻して

$y = (Ae^{2x} + Be^{-2x})\frac{1}{\cos x}$ （A,B は任意定数）

(4)

$y'' - 4xy' + 4x^2 y = xe^{x^2}$

$P = -4x$、$Q = 4x^2$、$R = xe^{x^2}$ とおくと

$y = \exp\left(-\frac{1}{2}\int -4x \, dx\right) \cdot v = e^{x^2} v$ これから

$I = 4x^2 + 2 - 4x^2 = 2$ $J = xe^{x^2} e^{-x^2} = 2$ これから

$v'' + 2v = x$

特性方程式は $s^2 + 2 = 0$ $\therefore s = \pm\sqrt{2}i$

微分演算子 $D$ を使って $(D^2 + 2)v_1 = x$ $v_1 = \frac{x}{D^2 + 2} = \frac{1}{2}x$ これから

$v = A\sin\sqrt{2}x + B\cos\sqrt{2}x + \frac{1}{2}x$ 元に戻して

$y = e^{x^2}\left\{A\sin\sqrt{2}x + B\cos\sqrt{2}x + \frac{1}{2}x\right\}$ （A,B は任意定数）