第9章 9.33

(1)

$y^2 = Cx$

$2yy' = C$ これを与式に代入して

$y^2 = 2yy'x$ と $y = 2yy'$ （曲線群の微分方程式）

$y = 2x\left(-\frac{1}{y'}\right)$ $yy' + 2x = 0$ （直交曲線の微分方程式）

$y\frac{dy}{dx} + 2x = 0$

$\int ydy = \int -2xdx$ $\frac{1}{2}y^2 = -x^2 + C_1$ $2C_1 = C$ とおくと

$y^2 + 2x^2 = C$ （C は任意定数）（直交曲線）

(2)

$x^2 + y^2 = Cx$

$2x + 2yy' = C$ これを与式に代入して

$x^2 + y^2 = (2x + 2yy')x$ と $y^2 - x^2 = 2xyy'$ （曲線群の微分方程式）

$y^2 - x^2 = 2xy\left(-\frac{1}{y'}\right)$ $(x^2 - y^2)y' = 2xy$ （直交曲線の微分方程式）

$\frac{dy}{dx} = \frac{2xy}{x^2}$ $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}$ $\frac{y}{x} = u$ といると $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$ これから

$u + x\frac{du}{dx} = \frac{2}{1-u}$ $x\frac{du}{dx} = \frac{u^3 + u}{1-u^2}$

$\int \frac{1-u^2}{u^3+u}du = \int \frac{1}{x}dx$ $\int \left(\frac{1}{u} - \frac{2u}{u^2-1}\right)du = \int \frac{1}{x}dx$

$\log \frac{u}{u^2+1} = \log x + C_1$ $e^{C_1} = C_2$ とおくと

$\frac{u}{x(u^2+1)} = C_2$ 元に戻して

$\frac{\frac{y}{x}}{\frac{y^2+x^2}{x}} \cdot \frac{1}{x} = C_2$ $\frac{1}{C_2} = C$ として $x^2 + y^2 = Cy$ （直交曲線）