第9章 9.27

(1)

$y' + \frac{y}{x} = x^2 y^2 \quad , \quad \frac{1}{y^2}y' + \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} = x^2$

$u = \frac{1}{y}$ とおくと $\frac{du}{dx} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$ これから

$-\frac{du}{dx} + u \cdot \frac{1}{x} = x^2 \quad , \quad \frac{du}{dx} - u \cdot \frac{1}{x} = -x^2$

$P = -\frac{1}{x}$ ， $Q = -x^2$ とおくと $\int Pdx = -\log x$ これから

$u = x\left\{\int -xdx + C\right\} = x\left\{-\frac{1}{2}x^2 + C\right\}$

元に戻して

$\frac{1}{y} = x\left\{-\frac{1}{2}x^2 + C\right\} \quad , \quad y = \frac{2}{x(C - x^2)}$

（$C$ は任意定数）

(2)

$y' = y(1 + xy) \quad , \quad y' - y = xy^2 \quad , \quad \frac{1}{y^2}y' - \frac{1}{y} = x$

$u = \frac{1}{y}$ とおくと $\frac{du}{dx} = -\frac{1}{y^2} \frac{dy}{dx}$ これから

$-\frac{du}{dx} - u = x \quad , \quad \frac{du}{dx} + u = -x$

$P = 1$ ， $Q = -x$ とおくと $\int Pdx = x$ これから

$u = e^{-x}\left\{\int e^x(-x)dx + C\right\} = e^{-x}\left\{-xe^x + \int e^x dx + C\right\} = -x + 1 + Ce^{-x}$

元に戻して

$\frac{1}{y} = -x + 1 + Ce^{-x} \quad , \quad y = \frac{1}{1 - x + Ce^{-x}}$

（$C$ は任意定数）